Juan Martos Quesada – lenguapersa.com

I Omar Khayyams biografi blandas i lika delar verkligheten och myten, vilket ger oss en vink om hans rykte, både i öst och i väst. Detta bidrar till bilden av honom som klok och intellektuell, en bild vi har fått genom hans arbete som författare och vetenskapsman.

Han föddes år 1017 (1048) i staden Nischapur och dog i samma stad år 1123 (1122). Hans liv, trots hans enorma popularitet är inte riktig känd av alla.(1) Om vi ska tro på vad vissa arabiska och persiska författare berättar om honom, gjorde han sina första studier vid ett universitet i sin hemstad, där han studerade tillsammans med Abu Ali Hasan al-Tusi, som senare blev visir under namnet Nizamn al-Mulk, och Hassan Sabbah, som senare grundade Ismailitiska sekten, en gren inom shia islam.

Enligt denna legend, svor de tre vännerna att den första som skulle komma till makten skulle hjälpa och skydda de andra två. När Nizam valdes till sultan Maliks visir, utnämnde han Hassan till kammarherre och erbjöd samma position till Omar Khayyam som tackade nej för att kunna ägna sig åt fördjupade studier i matematik.

Oavsett om legenden är sann eller inte, Omar Khayyams matematiska verk och i synnerhet sin avhandling om algebra fick sultanen Malik att ge honom ansvaret över observatoriet i Bagdad, där han utvecklade de nu berömda astronomiska tabeller som bär sin välgörares namn.

Enligt historien dog Omar Khayyam medan han läste en avhandling om metafysik av Avicenna. Hans grav ligger i Nischapur, den hittades långt efter hans död av hans lärjunge Nizami (2) som hade följt följande ledtrådar av Khayyam: ”Min grav kommer att ligga på en plats där nordanvinden kan täcka den med rosenblad.”

Hans liv som matematiker och vetenskapsman är den aspekt vi kommer att behandla i denna artikel, hans arbete var okänd i väst fram till sjuttonhundratalet, då Gerardo Merman år 1742 utgav i Leyden sin bok ”Specimen calculi fluxionalis”. Merman trodde att Omar Khayyams manuskript som fanns i staden innehöll den algebraiska lösningen till de kubiska ekvationer, ett misstag som begicks även av andra matematiker och som inte upptäcktes förrän i början av artonhundratalet av Sedillot och Chasles. Khayyams avhandling om algebra översattes till franska först 1851.

Denna berömda avhandling (3) som placerar vår författare bland de mest framstående matematiker och som var avgörande för Khayyams framtida forskning inom astronomi, är uppdelad i fem delar. I avhandlingen behandlas för första gången på ett systematiskt sätt de kubiska ekvationer och med hjälp av en hyperbel och en cirkel avgörs antalet reella rötter och grova uppskattningar.

För att bättre förstå hans enastående bidrag till matematiken, och naturligtvis, till sin tids matematik, kan vi säga att den arabiska matematiken klassificeras på ett ganska naturligt sätt i fyra olika typer:

1. ett aritmetiskt som troligen kom från Indien, baserat på principen om positionen.
2. en algebraisk som trots sina obestridliga rötter i Grekland, mer specifikt Arkimedes och Apollonios, både Indien och forntida Babylonien använde och senare bearbetades av araberna på ett unikt, nytt och systematiskt sätt.
3. ett trigonometrisk vars grundprinciper kom från Grekland, men araberna använde typiska hinduer formler och lyckades expandera det med nya roller och relationer mellan dem.
4. en geometrisk som naturligtvis kom från Grekland, men som utvecklades av muslimerna genom flera generaliseringar och kritiska studier, till exempel om parallell axiomet.

När det gäller den tredje typen, den trigonometriska matematiken, både Ibn Yunus som Al Haytham (Alhazen) introducerade omvandlings formler som användes i Europa fram till sextonhundratalet innan man uppfann logaritmer.

När det gäller den fjärde typen, den geometriska matematiken, revolutionerade Omar Khayyam denna typ av studier, ett århundrade efter Al Haytham, med sin avhandling om algebra, som förlängde al Khowarizmis klassiska algebra genom att inkludera kubikmetriska ekvationer. I samma tradition som sina föregångare, ger Omar Khayyam aritmetiska och geometriska lösningar för kvadratiska ekvationer (4). När det gäller tredjegradsekvationer i allmänhet tycks han ha trott i princip (felaktigt, vilket bevisades under 1500-talet) att det var omöjligt att räkna fram lösningar, och därför gav Omar Khayyam bara geometriska lösningar i dessa fall.

Idén om att använda konisk skärningspunkt för att lösa tredjegradsekvation var inte ny, den hade undersökts och utnyttjats av Menaichmos, Arkimedes, och Alhazen, men Omar Khayyam tog det avgörande steget att generalisera metoden till att omfatta alla tredjegradsekvationer med någon positiv rot. Redan i ett tidigare arbete sade Omar Khayyan uttryckligen när han kom fram till en tredjegradsekvation följande: ”Det här kan inte lösas med euklidisk geometri, dvs. med endast linjal och kompass, eftersom den innehåller en kub, och vi måste lösa det med koniska skärpunkter.” (5)

För ekvationer av högre grad än tre försökte Omar Khayyam uppenbarligen inte använda geometriska metoder av den enkla anledningen att rymden har bara tre dimensioner. Han sa även att ”… det, de som använder algebra kallar för kvadratisk-kvadratisk vid behandling av kontinuerliga storheter, är bara en teoretisk fråga som inte finns på något sätt i verkligheten…” (6)

De komplicerade förfaranden som Omar Khayyam tillämpade, med berättigad stolthet, på tredjegradsekvationer kan vi uppenbarligen göra det idag på ett mycket kortare och elegantare sätt med hjälp av algebraiska notationer och moderna begrepp på följande sätt: tredjegradsekvationen x3 + ax2 + b2x + c3 = 0 kan skrivas på ett enklare sätt om vi ersätter x2 med 2py får vi 2pxy + 2apy + b2x + c3 = 0 vilket är ekvationen för en hyperbel, medan ekvationen x2 = 2py med ersättningen vi gjorde utgör en parabel.

Det står alltså klart att om vi har ovanstående hyperbel och denna parabel i ett enda kartesiskt koordinatsystem, då blir origo i kurvornas skärningspunkt (om det finns någon), roten till den givna tredjegradsekvationen. Det är uppenbart att man kunde ha använt många olika par koniska sektioner för att lösa andra tredjegradsekvationer på ett liknande sätt.

Omar Khayyam, i avsaknad av begreppet negativ koefficient, tvingades att dela upp problemet i många fall på tal a, b, c, som positiv, negativ eller noll, dessutom måste Omar Khayyam också identifiera de koniska sektionerna på ett speciellt sätt i varje enskilt fall i och med begreppet parameter i allmänhet saknades. Dessutom fanns det inte alla kubikrötter i och med negativa rötter var inte tillåtna och i allmänhet inte heller alla skärningspunkter för koniska sektioner.

Det bör betonas också att i de grekiska geometriska lösningarna för tredjegradsekvationer var koefficienterna alltid segment, medan i Omar Khayyams arbete var de bestämda siffror. Just detta, tendensen att stänga den gamla klyftan mellan den numeriska och geometriska algebran var ett av de mest givande bidragen från den arabiska eklekticismen.

Vi vet att det avgörande steg i denna riktning togs mycket senare av Descartes, men Omar Khayyam gick redan i samma riktning när han förklarade att: ”… Den som tror att algebra är ett antal knep för att få fram de okända faktorers värde, tror fel. Man bör inte fästa sig vid det faktum att algebra och geometri verkar vara olika. Omständigheterna inom algebra är geometriska fakta som har bevisats…” (7)

Således, genom att ersätta Euklides geometriska proportioner med en numerisk metod, närmade sig Omar Khayyam till definitionen av irrationella nummer, och han faktiskt kämpade i allmänhet med det reella talets begrepp. (8)

Alla dessa matematiska kunskaper använde Omar Khayyam för att förnya sin tids astronomiska kunskaper. Alla vet att det iransk-persiska kulturella området i den antika medeltida islamiska riket visade ett unikt intresse för astronomi från slutet av 700-talet. Antalet forskare som var engagerade i denna vetenskapliga disciplin, de böcker som vi har fått från denna tid, antalet offentliga och privata astronomiska observatorium och slutligen de många specifika och exakta iakttagelser som registrerades från och med denna period vittnar om denna verksamhet, som inledningsvis var nästan uteslutande observationer och bekräftelse av upptäckten gjorda av Ptolemaios och andra grekiska geografer och astronomer.(9)